Semana passada o professor passou uma introdução à teoria dos conjuntos, sempre li sobre a tal teoria mas nunca tinha estudado ela academicamente e o quanto era poderosa. Durante a explanação o professor comentou sobre os livros de Bourbaki. Nicolas Bourbaki na verdade não é uma pessoa e sim um grupo de jovens matemáticos franceses que após a Primeira guerra mundial perderam muitos de seus orientadores pois a França os enviou à guerra (diferente da Alemanha que os manteve em centros de estudo).

Os pobres matemáticos jovens ficaram sem orientadores jovens! Só ficaram os muito novos e os muito velhos.
O que eles fizeram foi praticamente reescrever a matemática baseando-a no mínimo de conceitos necessários, basicamente usando a teoria dos conjuntos, para ter uma idéia até a definição de números vem dos conjuntos. Por exemplo o número 0 (zero) pode ser representado pelo conjunto vazio, já o 1 (um) pelo conjunto que contém o conjunto vazio, e o 2 (dois) pelo conjunto que contém o conjunto que contém o conjunto vazio, o três ah! Você entendeu. Para ficar mais claro dá uma olhada nessa figura da wikipedia:

Números Naturais segundo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Assim é possível definir soma como sendo a união desses conjuntos e a multiplicação como sendo o produto cartesiano dos conjuntos! E por aí vai.
Esses livros utilizaram esses formalismos para reescrever quase toda a matemática da época de forma totalmente axiomática totalmente formal!

E não falei nada sobre a hipótese do continuum e o conceito de cardinalidade e como se pode afirmar que um infinito é maior que outro e etc.

Fiquei fã!

Sobre Bourbaki acesse:

http://planetmath.org/encyclopedia/NicolasBourbaki.html

Sobre teoria dos conjuntos:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_conjuntos

Sobre infinitos e cardinalidade e hipótese do continuum:
http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number